从二项式定理说起

下列等式是显然成立的:

(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)(a+b)(a+b)=a2+3a2b+3ab2+b2(a+b)(a+b) = a^2+2 ab +b^2 \\ (a+b)(a+b)(a+b) = a^2 + 3a^2b+3ab^2+b^2

看到这如此规整的式子,自然会问,

(a+b)n(a+b)^n

它的每一项有没有一个简单的表示呢?

从上面两个式子可以看出来,(a+b)n(a+b)^n展开式的每一项都有两个性质:

  • 每一项都是ak1bk2a^{k_1} b^{k_2}的形式
  • k1+k2=nk_1+k_2=n

这也就是说,展开式的每一项都是akbnka^k b^{n-k}的形式。现在只要确定每一项的系数即可。

既然如此不妨创造一个记法。记

(nk)\binom{n}{k}

(a+b)n(a+b)^nakbnka^k b^{n-k}的系数。

这个系数应该怎么算呢?仔细体会一下从(a+b)(a+b)(a2+2ab+b2)(a^2+2ab+b^2)中得到(a3+3a2b+3ab2+b3)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)的过程:

(a+b)(a2+2ab+b2)=a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b2=a3+3a2b+3ab2+b3\begin{aligned} (a+b)(a^2+2 ab+b^2) &= a(a^2+2 ab+b^2)+b(a^2+2 ab+b^2) \\ &= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^2 \\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}

在这个计算过程中,3a2b3 a^2 b是怎么来的?答案是,是由

2a2b+a2b2a^2b + a^2b

得到的。

那么这两项又是怎么来的?答案是,是由

(a+b)(a2+2ab+b2)(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(\textcolor{blue}{a^2}+\textcolor{red}{2 ab}+b^2)

其中红项和红项相乘,蓝项和蓝项相乘,就得到了这两项。

这时我们发现了一个秘密:

如果你想要(a+b)n(a+b)^nakbnka^k b^{n-k}这一项,那么你应该到(a+b)n1(a+b)^{n-1}ak1bnka^{k-1}b^{n-k}akbnk1a^{k}b^{n-k-1}这两项中寻找。

因为,ak1bnka=akbnka^{k-1}b^{n-k} \cdot a=a^k b^{n-k}akbnk1b=akbnka^{k}b^{n-k-1} \cdot b=a^k b^{n-k}

可以证明,任何其他项都不可能缔造akbnka^k b^{n-k}.

这样一来立刻得到:

(nk)=(n1k)+(n1k1)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}

这就是大名鼎鼎的Pascal’s Rule.

练习 1.(a+b)6(a+b)^6a4b2a^4b^2的系数

组合数与Pascal’s Rule

注意,我们之前根本没有定义组合数。虽然你知道

(nm)\binom{n}{m}

就是从nn个不同的元素中选mm个元素的选法,但在之前的定义中,我们从未引入这一概念。换言之,

(nk)=(n1k)+(n1k1)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}

是『定义式』(当然,还要定义(n0)=1\binom{n}{0}=1

从直观上来讲,二项式系数和组合数的关系是显然的。因为对于二项式展开的另一种理解是,

akbnka^k b^{n-k}

是从nn个式子中选kkaankn-kbb.

不过我们真正关心的是,这两个定义:

(nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

(nk)=(n1k)+(n1k1)(n0)=1\begin{aligned} \binom{n}{k} &=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \\ \binom{n}{0} &=1 \end{aligned}

究竟是如何结合在一起的呢?i.e. 如何互相推导呢?

这似乎不是一个很简单的问题,改日再写吧。